Tu Hwnt i Anfeidredd DARLITH WALTER IDRIS JONES, 1984 MAE'R syniad o anfeidredd yn un sydd wedi diddori mathemategwyr ac athronwyr ers canrifoedd. Mae hyn yn naturiol gan fod mathemategwyr â diddordeb mewn casgliadau o bethau, hynny yw, mewn setiau, yn hytrach nag yn yr unigolyn, ac fel arfer, mae'r casgliadau hyn yn anfeidrol. Enghraifft bwysig yw y set o gyfanrifau positif, sef {1, 2, 3, .}; mae'r set yma'n ddiderfyn oherwydd bod olynydd i bob un o'r rhifau. Llun 1. Achilles a'r crwban (Scientific American Inc). Arweiniodd yr ymdrechion cynnar i sefyllfaoedd afresymol a pharadocsau, a chymerodd ganrifoedd i benderfynu rhai o'r rhain; 'roedd rhai heb eu penderfynu hyd y ganrif hon. Cymerwch baradocs Zeno, er enghraifft, am Achilles a'r crwban. Mae Achilles yn cael ras yn erbyn crwban. Rhedai Achilles gyda chyflymdra o ddeg troedfedd yr eiliad a'r crwban un troedfedd yr eiliad. I greu diddordeb mae'r crwban yn cael deg troedfedd o fantais ('big deal' dywedwch, ond mwy na digon mae'n debyg). Felly pan fydd Achilles yn cyrraedd lle cychwynna'r crwban mae'r hen grwban wedi symud ymlaen ychydig (un troedfedd i fod yn gywir) ac mae'n debyg bod hyn yn parhau am byth. Ffig. 1. Ond wrth resymu fel hyn roedd Achilles yn anghywir i feddwl bod yr olyniaeth anfeidrol o gyfyngau yn adio i lanw tragwyddoldeb. Y gwir yw fod y cyfyngau yn mynd yn fwy byr gydag amser:- 1 + 1/10 + 1/100 + ac yn gwneud cyfanswm o 10/9 eiliadau. Felly mae hunllef Achilles yn parhau am 10/9 eiliad yn unig; ar ôl hynny mae e'n saethu 'mlaen. W. D. EVANS Calculus Newton a Leibnitz Problem arall a oedd yn achosi anghydfod oedd y syniad o orfychanyn (infinitesimal), hynny yw, mesur sy'n anfeidrol o agos i 0 (zero) ond ddim yn 0. 'Roedd hyn yn nodwedd o Calculus Newton a Leibnitz-ac yn achosi gofid i'r ddau. Meddyliwch am gar yn cyflymu o 0 i 90 milltir yr awr (m.y.a.). Pan fydd y speedometer yn darllen 60 m.y.a. mae'r car yn teithio 1 filltir bob munud ar y foment honno. Ond beth yw ystyr hyn? Gan fod y car yn cyflymu 'dyw'r car ddim yn teithio gyda'r cyflymdra hwnnw am funud gyfan-yn wir ddim am unrhyw ysbaid. Felly mae'r car yn teithio pellter o 0 milltir ac yn dal y cyflymdra am 0 munud. Yr unig beth gallwn ddweud yw bod y car mewn rhyw Ie am ryw amser; 'does na ddim y ffasiwn beth â'r foment nesaf gan bod rhwng dau foment anfeidredd o fomentau. Beth yw'r ateb? Rhesymai Newton mewn termau gorfychanyn: ar 60 m.y.a. mae'r car yn teithio rhyw ysbaid gorfychan mewn rhyw ysbaid gorfychan o amser ac ar 30 m.y.a. mae'n cymeryd yr un amser i deithio hanner y pellter. Er mor afresymol oedd yr esboniad hwn medrodd Newton, Leibnitz a'u holynwyr ddefnyddio'r syniadau amhendant hyn i ddatblygu'r Calculus. Hefyd, heb boeni am y sylfaen sigledig nac am resymeg llwyddwyd i ymestyn llawer ar ochr ffurfiol y Calculus. Llwyddodd rhai fel Euler i gyflawni llawer, ac 'roedd mathemategwyr yn cael eu parchu am eu gweithredoedd gwyrthiol ac am nerth eu deall. Mae na stori ddifyr am Euler yn y cyswllt hwn. Roedd Euler yn ffefryn yn llys y Tsar yn Rwsia ac yn gwario llawer o'i amser yno. Un tro yn ystod ymweliad 'roedd yr athronydd Diderot yn achosi pryder i'r Tsar am fod y plant yn gwrando yn rhy astud ar ei syniadau anffyddiol. Gorchmynodd y Tsar Euler (a oedd yn credu yn Nuw) i ddefnyddio mathemateg i brofi i Diderot a'i ddilynwyr bod Duw yn bod. Daeth Euler a Diderot wyneb yn wyneb o flaen y llys a dywedodd Euler rywbeth fel hyn:- (a + b") x = k, felly mae Duw yn bod. 'Doedd dim ateb gan Diderot i hyn, a diflannodd o'r wlad heb ddweud gair wrth neb. Ffig. 2.